Prova da Fórmula de Euler

Prova da fórmula de Euler (pronuncia-se Óiler) retirada da Wikipédia.

(1)
e^{ix} = \cos x + i\cdot\sin x

Usando Cálculo

Definida uma função f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}, tal que f(x) = e^{-ix} \cdot (\cos x + i \cdot \sin x), temos que a derivada de f, usando a regra do produto é:

(2)
\begin{align} \frac{d}{dx} f(x) &= (\cos x + i \cdot \sin x) \cdot \frac{d}{dx} e^{-ix} + \frac{d}{dx} (\cos x + i \cdot \sin x) \cdot e^{-ix} \ &= (\cos x + i \cdot \sin x) \cdot (-ie^{-ix}) + (-\sin x + i\cos x)\cdot e^{-ix}\ &= (-i\cos x - i^2 \cdot \sin x) \cdot e^{-ix} + (-\sin x + i\cos x)\cdot e^{-ix} \ &= (-i\cos x + \sin x - \sin x + i\cos x) \cdot e^{-ix}\ &= 0. \end{align}

Portanto, f deve ser uma função constante. Como sabemos qual o valor de f(0), sabemos qual o valor para qualquer x real. Assim,

(3)
e^{-ix} \cdot (\cos x + i \cdot \sin x) = f(x) = f(0) = e^0 \cdot (\cos 0 + i \cdot \sin 0) = 1.

Multiplicando ambos os lados por e^{ix}, temos:

(4)
\begin{align} e^{-ix} \cdot (\cos x + i \cdot \sin x) &= 1 \ e^{ix} \cdot e^{-ix} \cdot (\cos x + i \cdot \sin x) &= e^{ix} \ (\cos x + i \cdot \sin x) &= e^{ix} \end{align}

c.q.d.

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